A：There's a nasty rumor going around about you.

君のことで変な噂が広まっているよ。

B：I've already heard it. I want you to know there's no truth in it.

もう聞きましたよ。まったくのでたらめだっていうことをわかってほしいんだ。

A：I'll take you at your word.

信じていますよ。

B：Thanks for your trust.

信頼してくれてありがとう。

●nasty　：　いやな、やっかいな、困った、きたない。

●go around ：　（噂、病気などが）広まる。

●truth ：　真実、事実、真相

●trust ：　信用、信頼。

「信じていますよ」は、I'll believe you.でもちろん結構ですが、I'll take you at your word. がずっと口語的です。

またI'll take your word for it.　でもOKです。

言いやすいほうを覚えてください。自分のいっていることに自信がない時、不確かな話をしなければならない時、などは

Don't take my word for it.

と前置きをして話すこともあるでしょう。

最後の文、Thanks for your trust.　ですが、Thanks for your support.でもかまいません。

ただThank you for your trust. よりもこの場合は　Thanks を使う方が良いでしょう。

rumor（噂）は、イギリスではrumour と書きますが、「噂話」は、gossip で「蔭口、悪口」の意味合いがあります。